Chapter 9, Inferências baseadas em duas amostras Video Solutions, Probalidade e Estatística para Engenharia e Ciências | Numerade (2024)

Um artigo do Consumer Reports de novembro de 1983 comparou vários tipos de pilhas. A vida uutil média das pilhas alcalinas AA Duracell e das pilhas alcalinas AA Eveready Energizer foi dada como 4,1 horas e 4,5 horas, respectivamente. Suponha que essas sejam a vida útil média da população.
a. Seja $\bar{X}$ a vida útil média amostral de 100 pilhas Duracell e $\bar{Y}$ a vida útil da média amostra de 100 pilhas Eveready. Qual é o valor médio de $\bar{X}-\bar{Y}$ (isto é, onde a distribuição de $\bar{X}-\bar{Y}$ está centralizada)? Como a sua resposta depende dos tamanhos especificados das amostras?
b. Suponha que os desvios padră̄o da vida útil da população sejam 1,8 hora para as pilhas Duracell c 2,0 horas para as pilhas Eveready. Com os tamanhos amostrais dados na parte (a), qual é a variância da estatística $\bar{X}-\bar{Y}$ e qual é o seu desvio padrāo?
c. Para os tamanhos amostrais dados na parte (a), faça um desenho da curva de distribuição aproximada de $\bar{X}-\bar{Y}$ (inclua uma escala de medição no eixo horizontal). O formato da curva seria necessariamente o mesmo para os tamanhos amostrais de 10 pilhas de cada tipo? Explique.

Sejam $\mu_1$ e $\mu_2$ as vidas médias reais de duas marcas concorrentes de pneus radiais de tamanho P205/65R15. Teste $H_0: \mu_1-\mu_2=0$ versus $H_*: \mu_1-\mu_1 \neq 0$ no nível 0,05 , usando os seguintes dados: $m=45, \bar{x}=42.500$, $s_1=2200, n=45, \bar{y}=40.400$ e $s_2=1900$.

$O$ artigo "The Influence of Corrosion Inhibitor and Surface Abrasion on the Failure of AluminumWired Twiston Connections* (IEEE Trans. on Components, Hybrids, and Manuf. Tech., 1984, p. 20-25) relatou dados sobre as medições de queda de potencial de uma amostra de conectores reforçados com arame de liga de alumínio e de outra amostra reforçada com arame de aluminio EC. O relatório SAS a seguir sugere que a queda de potencial médio real das conexões de liga (tipo 1) é maior que a das conexões de EC (conforme afirmado no artigo)? Faça o teste apropriado, usando um nivel de significância de 0,01 . Ao chegar a sua conclusaio, que tipo de erro você pode ter cometido? (Observação: O SAS descreve o valor $P$ para um teste bicaudal.)

Seja $\mu_1$, a vida real média de uma marca premium de pneu radial P205/65R15 e $\mu_2$ a vida média real de uma marca cconômica do mesmo tamanho. Teste $H_6: \mu_1-$ $\mu_2=5000$ versus $H_4: \mu_1-\mu_2>5000$ no nivel 0,01 , usando os seguintes dados: $m=45, \bar{x}=42.500, s_1=$ $2200, n=45, \bar{y}=36.800$ e $s_2=1500$.

a. Use os dados do Exercicio 2 para calcular um IC de $95 \%$ para $\mu_1-\mu_2$. O intervalo resultante sugere que $\mu_1-\mu_2$ foi estimado com precisão?
b. Use os dados do Exercicio 3 para calcular o limite de confiança superior de $95 \%$ para $\mu_1-\mu_2$ -

As pessoas que têm a sindrome de Reynaud estão propensas a sofrer uma diminuição repentina da circulaçüo sangüínea nos dedos dos pés e das mäos. Em um experimento para estudar a extensâo dessa deficiência, cada pessoa mergulhou o dedo indicador na água, e a emissão de calor resultante ( $\mathrm{cal} / \mathrm{cm}^2 / \mathrm{min}$ ) foi medida. Para $m=10$ pessoas com a síndrome, a saída de calor média foi $\bar{x}=0,64$, e para $n=10$ que nâo sofrem da síndrome, a emissâo média foi 2,05 . Sejam $\mu_1$ e $\mu_2$ as emissôes de calor médias reais para os dois tipos de pessoas. Assuma que as duas distribuiçōes de emissão de calor sejam normais $\operatorname{com} \sigma_1=0,2 \mathrm{e} \sigma_2=0,4$.
a. Considere o teste de $\boldsymbol{H}_0: \boldsymbol{\mu}_1-\boldsymbol{\mu}_2=-1,0$ versus $\boldsymbol{H}_3$; $\mu_1-\mu_2<-1,0$ no nivel 0,01 . Descreva em palavras o que diz $H_3$ e faça o teste.
b. Calcule o valor $P$ para o valor de $Z$ obtido na parte (a).
c. Qual é a probabilidade de um erro tipo II quando a diferença real entre $\mu_1$ e $\mu_2$ for $\mu_1-\mu_2=-1,2$ ?
d. Assumindo que $m=n$, quais tamanhos das amostras são necessários para garantir que $\beta=0,1$ quando $\mu_1-\mu_2=-1,2 ?$

Um experimento para comparar a resistência de contato à tensão da argamassa modificada de látex de polímero (argamassa de cimento Portland à qual foram acrescentadas emulsōes de látex de polímero durante a mistura) à resistência da argamassa inalterada resultou $\mathrm{cm} \bar{x}=$ $18,12 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^2$ para a argamassa modificada $(m=40) \mathrm{e}$ $\bar{y}=16,87 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^2$ para a argamassa inalterada ( $n=$ 32). Sejam $\mu_1$ e $\mu_2$ as resistëncias de contato à tensão das argamassas modificadas e inalteradas, respectivamente. Assuma que as distribuiçöes da resistência de contato sejam normais.
a. Assumindo que $\sigma_1=1,6$ e $\sigma_2=1,4$, teste $H_0: \mu_1-$ $\mu_2=0$ versus $H_*: \mu_1-\mu_2>0$ no nivel 0,01 .
b. Calcule a probabilidade de um erro tipo Il para o teste da parte (a) quando $\mu_1-\mu_2=1$.
c. Suponha que o investigador decidiu usar um teste nivel 0,05 e quis que $\beta=0,10$ quando $\mu_1-\mu_2=1$. Se $m=40$, que valor de $n$ é necessário?
d. Como a análise e a conclusão da parte (a) mudariam, se $\sigma_1$ e $\sigma_2$ fossem desconhecidas, mas $s_1=1,6 \mathrm{e}$ $s_2=1,4$ ?

Os alunos universitários do sexo masculino se cansam com mais facilidade que suas colegas? Essa pergunta foi avaliada no artigo "Boredom in Young Adults Gender and Cultural Comparisons" (J. of CrossCulfural Psych., 1991, p. 209-223). Os autores administraram uma escala chamada Escala de Propensão ao Cansaço a 97 homens e 148 mulheres de uma universidade dos Estados Unidos. Os dados a seguir apóiam a hipótese da pesquisa de que o Grau de Propensão ao Cansaço medio é maior para os homens que para as mulheres? Teste as hipóteses apropriadas, usando um nível de significância de 0,05 .
$$
\begin{array}{lccc}
\text { Sexo } & \begin{array}{c}
\text { Tamanho } \\
\text { Amostral }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { Média } \\
\text { Amostral }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { DP } \\
\text { Amostral }
\end{array} \\
\hline \text { Homens } & 97 & 10,40 & 4,83 \\
\text { Mulheres } & 148 & 9,26 & 4,68 \\
\hline
\end{array}
$$

Testes de resistência à tensão foram realizados $\mathrm{em}$ dois graus diferentes de haste de arame ("Fluidized Bed Patenting of Wire Rods." Wire J., June 1977, p. 56-61), resultando nos dados a seguir.
$$
\begin{array}{lccc}
\text { Graus } & \begin{array}{c}
\text { Tamanho } \\
\text { Amostral }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { Média } \\
\text { Amostral } \\
\left(\mathrm{kg} / \mathbf{m m}^2\right)
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { DP } \\
\text { Amostral }
\end{array} \\
\hline \text { SI } 1064 & m=129 & \bar{x}=107,6 & s_1=1,3 \\
\text { SI } 1078 & n=129 & \bar{y}=123.6 & s_2=2,0 \\
\hline
\end{array}
$$
a. Os dados fornecem evidências convincentes para concluir que a resistência média real do grau 1078 excede a do grau 1064 por mais de $10 \mathrm{~kg} / \mathrm{mm}^2$ ? Teste as hipóteses apropriadas, usando a abordagem do valor $P$.
b. Calcule a diferença entre as resistências médias reais dos dois graus, de forma que forneça informações sobre precisfóo e confiabilidade.

O artigo "Evaluation of a Ventilation Strategy to Prevent Barotrauma in Patients at High Risk for Acute Respiratory Distress Syndrome" (New Engl. J. of Med., 1998, p. 355-358) relatou um experimento no qual 120 pacientes com características clínicas semelhantes foram divididos aleatoriamente em um grupo de controle e em um grupo de tratamento, cada um com 60 pacientes. A media de permanência na UTI (dias) da amostra e o desvio padräo da amostra para o grupo de tratamento foram, respectivamente, 19.9 e 39,1, ençuanto os valores para o grupo de controle foram $13,7 \mathrm{e} 15,8$.
a. Calcule uma estimativa pontual da diferença entre a permanência média real na UTI dos grupos de tratamento e de controle. Essa estimativa sugere que existe uma diferença significativa entre as permanências médias reais sob as duas condiçōes?
b. Responda à pergunta proposta na parte (a) fazendo um teste de hipótese formal. O resultado é diferente do que você supôs na parte (a)?
c. Parece que a permanência na UTI dos pacientes que receberam o tratamento de ventilaçăo é normalmente distribuida? Explique o seu raciocínio.
d. Estime a duração da permanência média real dos pacientes que receberam o tratamento de ventilaçäo, de modo que transmita informaçōes sobre precisão e confiabilidade.

Foi realizado um experimento para comparar a dureza de fratura do $18 \mathrm{Ni}$ de alta pureza com o aço de pureza comercial do mesmo tipo (Corrosion Science, 1971, p. 723-736). Para $m=32$ espécimes, a dureza média amostral foi $\bar{x}=65,6$ para o aço de alta pureza, enquanto para $n=38$ espécimes de aço comercial, $\bar{y}=$ 59.8. Porque o aço de alta pureza é mais caro, seu uso para determinada aplicação pode ser justificado somente se sua dureza de fratura exceder a do aço de pureza comercial por mais de 5 . Suponha que ambas as distribuiçōes de dureza sejam normais.
a. Assumindo que $\sigma_1=1,2 \mathrm{e} \sigma_2=1,1$, teste as hipóteses relevantes, usando $\alpha=0,001$.
b. Calcule $\beta$ para o teste realizado na parte (a) quando $\mu_1-\mu_2=6$.

O nível de chumbo no sangue foi determinado para uma amostra de 152 trabalhadores que lidam com resíduos perigosos com idade entre 20-30 anos e também para uma amostra de 86 trabalhadoras, resultando em uma média $\pm$ erro-padrão de $5,5 \pm 0,3$ para os homens e 3,8 $\pm 0,2$ para as mulheres ("Temporal Changes in Blood Lead Levels of Hazardous Waste Workers in New Jersey, 1984-1987," Emviron. Monitoring and Assessment, 1993 p. 99-107). Calcule uma estimativa da diferença entre os niveis médios reais de chumbo no sangue dos operírios e das operaírias, de modo que forneça informaçöes sobre precisão e confiabilidade.

Um engenheiro mecânico quer comparar as propriedades de resistência de vigas de aço com as de vigas semelhantes feitas com uma liga especifica. O mesmo número de vigas, $n$, de cada tipo será testado. Cada viga será colocada horizontalmente com um apoio em cada extremidade, uma força de $2500 \mathrm{lb}$ será aplicada no centro e a deflexalo será medida. A partir de experiência anterior com tais vigas, o engenheiro quer assumir que o desvio padraio real de desvio para ambos os tipos de viga é $0,05 \mathrm{in}$. Em virtude de a liga ser mais cara, o engenheiro quer testar no nível 0,01 se ela tem deflexāo média menor que a viga de aço. Que valor de $n$ é apropriado, se a probabilidade de erro tipo Il desejada for 0,05 quando a diferença da deflexão média real favorecer a liga em 0,04 in.?

O nível da atividade de oxidase de monoamina (MAO) nas plaquetas sangüineas ( $\mathrm{nm} / \mathrm{mg}$ proteina/h) foi determinado para cada indivíduo em uma amostra de 43 esquizofrênicos crônicos, resultando $\mathrm{em} \bar{x}=2,69$ e $s_1=$ 2,30, bem como de 45 pessoas normais, resultando em $\bar{y}=6,35$ e $s_2=4,03$. Esses dados sugerem fortemente que a média real de atividade de MAO das pessoas normais é mais que duas vezes o nível da atividade dos esquizofrênicos? Derive um procedimento de teste e faça o teste usando $\alpha=0,01$. [Sugestäo: $H_0$ e $H_a$ aqui possuem uma forma diferente dos trēs casos-padrāo. Sejam $\mu_1$ e $\mu_2$ a atividade de MAO média real dos esquizofrênicos bem como das pessoas normais, respectivamente, e considere o paråmetro $\theta=2 \mu_1-\mu_2$. Escreva $H_0$ e $H_3 \mathrm{~cm}$ termos de $\theta$, calcule $\theta$ e deduza $\hat{\sigma}_j$ ("Reduced Monoamine Oxidase Activity in Blood Platelets from Schizophrenic Patients," Nature, July 28, 1972, p. 225-226).]

a. Mostre para o teste de cauda superior com $\sigma_1$ e $\sigma_2$ conhecidos que, à medida que $m$ ou $n$ aumenta, $\beta$ diminui quando $\mu_1-\mu_2>\Delta_0$.
b. Para o caso de tamanhos das amostras iguais ( $m=$ n) e $\alpha$ fixo, o que acontece com o tamanho da amostra necessário $n$ quando $\beta$ é reduzido, onde $\beta \varepsilon$ a probabilidade de erro tipo Il desejada $\mathrm{cm}$ uma altermativa fixa?

Determine a quantidade de graus de liberdade para o teste $t$ de duas amostras ou IC cm cada uma das situaçöes a seguir:
a. $m=10, n=10, s_1=5,0, s_2=6,0$
b. $m=10, n=15, s_1=5,0, s_2=6,0$
c. $m=10, n=15, s_1=2,0, s_2=6,0$
d. $m=12, n=24, s_1=5,0, s_2=6,0$

Sejam $\mu_1$ e $\mu_2$ as densidades médias reais de dois tipos diferentes de tijolo, Assumindo a normalidade das duas distribuiçōes de densidade, teste $H_6: \mu_1-\mu_1=-10$ versus $H_i: \mu_1-\mu_2 \neq 0$, usando os dados a seguir: $m=6$, $\bar{x}=22,73, s_1=0,164, n=5, \bar{y}=21,95$ e $s_2=0,240$.

Suponha que $\mu_1$ e $\mu_2$ sejam distancias de parada médias reais em $50 \mathrm{mph}$ de certo tipo de carros equipados com dois tipos diferentes de sistemas de frenagem. Use o teste $t$ de duas amostras no nível de significância 0,01 para testar $H_0: \mu_1-\mu_2=-10$ versus $H_*: \mu_1-\mu_2<-10$ para os dados a seguir: $m=6, \bar{x}=115,7, s_1=5,03, n$ $=6, \bar{y}=129,3$ e $s_2=5,38$.

Use os dados do Excrcicio 19 para calcular um IC de $\mathbf{9 5 \%}$ para a diferença entre a distância de parada média real dos carros equipados com o sistema 1 e dos carros equipados com o sistema 2. O intervalo sugere que informaçōes precisas sobre o valor dessa diferença estão disponíveis?

As técnicas quantitativas năo-invasivas são necessárias para avaliar rotineiramente os sintomas das neuropatias periféricas, como Síndrome do Túnel Carpal (STC). O artigo "A Gap Detection Tactility Test for Sensory Deficits Associated with Carpal Tunnel Syndrome" ( $\mathrm{Er}$ gonomics, 1995, p. 2588-2601) relatou um teste que utilizou a percepção de um vão minúsculo $\mathrm{cm}$ uma superfície plana diferente, investigando-se com um dedo. Esse teste assemelha-se de forma funcional a muitas atividades palpáveis relacionadas ao trabalho, como a detecção de arranhōes ou defeitos na superficic. Quando não se pode fazer a sondagem com o dedo, o limiar da deteç̧ão do vâo médio da amostra para $m=8$ pessoas normais foi $1,71 \mathrm{~mm}$, e o desvio padrão da amostra foi 0.53 ; para $n=10$ pessoas com STC, a média e o desvio padraio amostrais foram 2,53 e 0,87 , respectivamente. Esses dados sugerem que o limiar da detecção do vão médio real para as pessoas com STC excede o das pessoas normais? Determine e teste as hipóteses relevantes, usando um nivel de significância de 0.01 .

O teste de corte inclinado é amplamente aceito para avaliar a uniāo de materiais de reparo resinosos ao concreto; ele utiliza espécimes cilíndricos feitos de duas metades idênticas unidas a $30^{\circ}$. O artigo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" (ACI Materials J., 1996, p. 553-558) relatou que, para 12 espécimes preparados usando escova de arame. a resistência de corte média amostral $\left(\mathrm{N} / \mathrm{mm}^2\right)$ e o desvio padrão da amostra eram 19,20 e 1,58 , respectivamente, enquanto, para 12 espécimes delineados manualmente, os valores correspondentes eram $23,13 \mathrm{e}$ 4,01. A resistência média real parece ser diferente para os dois métodos de preparação de superfície? Determine e teste as hipóteses relevantes, usando um nivel de significância de 0,05 . O que você supōe com relaçâo às distribuiçöes da resistência de corte?

A consistência de um pedaço de fruta é um importante indicador de sua madureza. A consistência de Magness-Taylor $(N)$ foi determinada para uma amostra de 20 maçäs douradas com um prazo de validade de zero dia, resultando em uma média amostral de $8,74 \mathrm{e}$ um desvio padrão da amostra de 0,66 , c outra amostra de 20 maçãs com um prazo de validade de 20 dias, com uma média e desvio padrâo amostrais de 4,96 e 0,39 , respectivamente. Calcule intervalo de confiança para a diferença entre a consistência média real das maçãs de zero dia e a consistência média real das maçãs de 20 dias, usando um nível de confiança de $95 \%$ e interprete $o$ intervalo.

Dor leve nas costas (DLC) é um problema de saúde sério em muitos ambientes industriais. $\mathrm{O}$ artigo "Isodynamic Evaluation of Trunk Muscles and Low-Back Pain Among Workers in a Steel Factory" (Ergonomics, 1995, p. 2107-2117) relatou os dados resumidos a seguir sobre o intervalo de movimentos laterais (graus) para uma amostra de trabalhadores sem um histórico de DLC e para outra amostra com histórico dessa doença.
Calcule um intervalo de confiança de $90 \%$ da diferença entre a extensão média de movimentos laterais da população para as duas condições. $\mathrm{O}$ intervalo sugere que o movimento lateral médio da populaçăo $\varepsilon$ diferente para as duas condiçōes? A mensagem é diferente se usarmos um nivel de confiança de $95 \%$ ?

À medida que a população envelhece, há uma preocupação crescente com relaçāo às lesões relacionadas a acidentes na velhice. $\mathrm{O}$ artigo "Age and Gender Differences in Single-Step Recovery from a Forward Fall" (J. of Gerontology, 1999, p. M44-M50) relatou um experimento $\mathrm{cm}$ que o ângulo de inclinação máximo - o mais afastado que uma pessoa ć capaz de se inclinar e ainda voltar ao estado normal em uma etapa - foi determinado para uma amostra de mulheres jovens (21-29 anos) e uma amostra de mulheres idosas ( $67-81$ anos). As observaçōes a seguir são consistentes com os dados resumidos fornecidos no artigo:
MJ: $29,34,33,27,28,32,31,34,32,27$
MI: $18,15,23,13,12$
Os dados sugerem que o Ângulo de inclinação máximo médio real das mulheres idosas é mais que 10 graus menor que o das mulheres jovens? Determine e teste as hipóteses relevantes no nível de significância 0,10 , obtendo um valor $P$.

O artigo "Effect of Internal Gas Pressure on the Compression Strength of Beverage Cans and Plastic Bottles" (J. Testing and Evaluation, 1993, p. 129-131) inclui os dados a seguir sobre a resistência à compressão (lb) de uma amostra de latas de alumínio de 12 oz cheias de suco de morango e de outra amostra com refrigerante. Os dados sugerem que a carbonação extra de refrigerante resulta $\mathrm{cm}$ uma resistência à compressio média maior? Tome como base de sua resposta um valor $P$. Que hipóteses silo necessárias para sua análise?

Considere a variável combinada $t$
$$
T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{s_p \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}
$$
que possui distribuição $t \operatorname{com} m+n-2$ gl quando ambas as distribuições das populaçōes sio normais com $\sigma_1=\sigma_2$ (veja a subseção Procedimentos combinados $t$ para obter uma descrição de $S_{\text {p }}$ ).
a. Use esta variável $t$ para obter a fórmula de um intervalo de confiança combinado $t$ para $\mu_1-\mu_2$.
b. Uma amostra de umidificadores ultrassônicos de uma marca especifica foi selecionada, à qual as observações sobre a saída máxima de umidade $(o z) \mathrm{cm}$ uma câmara controlada eram 14,0, 14,3, 12,2 e 15,1. Uma amostra da segunda marca forneceu os valores 12,1, 13,6, 11,9 e 11,2 ("Multiple Comparisons of Means Using Simultaneous Confidence Intervals." $J$.
of Quality Technology, 1989, p. 232-241). Use a fórmula combinada $t$ da parte (a) para estimar a diferença entre as saídas médias reais das duas marcas com um intervalo de confiança de $95 \%$.
c. Estime a diferença entre os dois $\mu \mathrm{s}$, usando o intervalo $t$ de duas amostras discutido nesta seção, e compare-o ao intervalo da parte (b).

Consulte o Exercício 34. Descreva o teste combinado $t$ para testar $H_{\odot}: \mu_1-\mu_2=\Delta_0$ quando ambas as distribuições das populações são normais $\sigma_1=\sigma_2$. Entioo, use esse procedimento de teste para testar as hipóteses sugeridas no Exercício 33.

Considere os dados a seguir sobre a carga de quebra ( $\mathrm{kg} / 25 \mathrm{~mm}$ de largura) de vários tecidos em uma condiçăo não-friccionada e uma condiçāo friccionada ("The Effect of Wet Abrasive Wear on the Tensile Properties of Cotton and Polyester-Cotton Fabrics," $J$. Testing and Evaluation, 1993, p. 84-93). Use o teste t pareado, conforme fizeram os autores do artigo citado, para testar $H_0: \mu_p=0$ versus $H_*: \mu_D>0$ no nivel de significância 0,01 .

Estimou-se que, entre 1945 e 1971, aproximadamente 2 milhöes de crianças nasceram de mäes tratadas com dietilestilbestrol (DES), um estrogênio nāo-esteróide recomendado para manutenção da gestação. A FDA proibiu esse medicamento $\mathrm{em}$ 1971, pois a pesquisa revelou uma ligação com a incidência de câncer cervical. O artigo "Effects of Prenatal Exposure to Diethylstilbestrol (DES) on Hemispheric Laterality and Spatial Ability in Human Males" (Hormones and Behavior, 1992, p. 62-75) discutiu um estudo em que 10 homens expostos ao DES e seus irmâos naีo-expostos se submeteram a vários testes. Esses são os dados resumidos sobre os resultados de um teste de habilidade espacial: $\bar{x}=12,6$ (expostos), $\bar{y}=13,7$, e o erro-padrão da diferença média $=0,5$. Faça o teste no nivel 0,05 para ver se a exposição está associada à habilidade espacial reduzida, obtendo-se o valor $P$.

A doença de Cushing caracteriza-se pela fraqueza muscular devida à disfunção pituitária ou supra-renal. Para oferecer tratamento eficaz, é importante detectar a doença de Cushing na infância o quanto antes. A idade no início dos sintomas e a idade no diagnóstico de 15 crianças que sofrem da doença foram dadas no artigo "Treatment of Cushing's Disease in Childhood and Adolescence by Transphenoidal Microadenomectomy" (New Engl. J. of Med., 1984, p. 889). Aqui estäo os valores das diferenças entre a idade no comego dos sintomas e a idade no diagnóstico:
$$
\begin{array}{llllllll}
-24 & -12 & -55 & -15 & -30 & -60 & -14 & -21 \\
-48 & -12 & -25 & -53 & -61 & -69 & -80 &
\end{array}
$$
a. O gráfico de probabilidade normal a seguir deixa fortes dúvidas sobre a normalidade aproximada da distribuiçăo de populaçăo de diferenças?
b. Calcule o limite de confiança de $95 \%$ inferior para a diferença média da população e interprete o limite resultante.
c. Suponha que as diferenças (idade no diagnóstico) (idade no inicio) tenham sido calculadas. Qual seria um limite de confiança superior de $95 \%$ para a diferença média da populaçäo correspondente?

Calcule e interprete o limite de confiança superior para a diferença média real entre o módulo de 1 minuto e o módulo de 4 semanas; verifique primeiro a plausibilidade de quaisquer hipóteses necessárias.

Consulte o Exercicio 41 e calcule a estimativa de intervalo para a diferença entre o tempo médio real da tarefa sob o nível de iluminação alto e o tempo medio real sob o nível baixo.

Construa um conjunto de dados pareados para o qual $t=\infty$, de modo que os dados sejam altamente signipara o teste $t$ de duas amostras esteja bem próximo de zero, assim, a análise incorreta produz um resultado insignificante.

Alguém que muda de marca induzido por motivos financeiros é menos provável de permanecer fiel do que alguém que muda sem essa indução? Sejam $p_1$ e $p_2$ as proporçöes reais de pessoas que mudam para uma determinada marca com e sem induçâo, respectivamente, que fazem subseqüentemente uma segunda compra. Teste $H_0: p_1-p_2=0$ versus $H_3: p_1-p_2<0$ usando $\alpha=0,01$ e os dados a seguir:
$$
\begin{array}{ll}
m=200 & \text { números de sucessos }=30 \\
n=600 & \text { números de sucessos }=180
\end{array}
$$
(Dados semelhantes sã̃o formecidos em "Impact of Deals and Deal Retraction on Brand Switching." J. Marketing, 1980, p. 62-70.)

Uma amostra de 300 adultos residentes em área urbana de um estado específico revelou que 63 favoreceram o aumento do limite de velocidade nas estradas de 55 para 65 mph, enquanto uma amostra de 180 ) habitantes rurais mostrou que 75 favoreceram o mesmo aumento. Esses dados indicam que a opinião sobre o aumento do limite de velocidade é diferente para os dois grupos de habitantes?
a. Teste $H_0 ; p_1=p_2$ versus $H_3: p_1 \neq p_2$ usando $\alpha=0,05$, onde $p_1$ refere-se à população urbana.
b. Se as proporçöes reais que favorecem o aumento saio realmente $p_1=0,20$ (urbano) e $p_2=0,40$ (rural), qual é a probabilidade de $\boldsymbol{H}_0$ ser rejeitada usando-se um teste nivel $0,05 \mathrm{com} m=300, n=180$ ?

Acredita-se que a capa frontal e a natureza da primeirs pergunta de pesquisas por correspondência influenciem o indice de respostas. $\mathrm{O}$ artigo "The Impact of Cover Design and First Questions on Response Rates for a Mail Survey of Skydivers" (Leisure Sciences, 1991, p. 67-76) testou essa teoria, fazendo experimentos com diferentes modelos de capas. Uma capa era lisa, a outra tinha a figura de um pára-quedista. Os pesquisadores consideraram que o índice de retorno seria menor para a capa lisa.

Os professores consideram seu trabalho gratificante e satisfatório? O artigo "Work-Related Attitudes" (Psychological Reports, 1991, p. 443-450) relata os resultados de uma pesquisa de 395 professores de escola primária e 266 de escola secundária. Dos professores de escola primária, 224 disseram que estavam muito satisfeitos com seus empregos, e dos professores de escola secundária, 126 manifestaram a mesma opiniâo. Calcule a diferença entre a proporção de todos os professores de escola primária que estäo satisfeitos e todos os de escola secundária que também estão satisfeitos, calculando um IC.

Uma amostra aleatória de 5726 números de telefone de uma regiuio, adquiridos em murço de 2002 , mostrou que 1105 nâo estavam inclúdos na lista e 1 ano depois, uma amostra de 5384 mostrou 980 números nâo-listados.
a. Faça o teste no nível 0,10 para ver se há uma diferença nas proporçōes reais de números não-listados entre os dois anos.
b. Se $p_1=0,20$ e $p_2=0,18$, que tamanhos das amostras $(m=n)$ seriam necessários para detectar tal diferença com probabilidade de 0,90 ?

Está sendo dada atenção crescente à radiação por ionização como método de preservaçaio de produtos de horticultura. $\mathrm{O}$ artigo "The Influence of Gamma-Irradiation on the Storage Life of Red Variety Garlic" (J. of Food Processing and Preservation, 1983, p. 179-183) relata que 153 dos 180 bulbos de alho irradiados foram comercializados (sem crescimento, deterioração ou amolecimento externo) 240 dias depois do tratamento, enquanto somente 119 dos 180 bulbos não-tratados foram vendidos depois desse período. Esses dados sugerem que a radiação por ionização é benéfica no que diz respeito à comercializaçāo?

Em investigaçōes médicas, a razão $\theta=p_1 / p_2$ geralmente é de maior interesse que a diferença $p_1-p_2$ (por exemplo: quantas vezes é mais provável que os individuos se recuperem ao receberem o tratamento 1 do que ao receberem o tratamento 27 ). Seja $\hat{\theta}=\hat{p}_1 / \hat{p}_2$. Quando $m$ e $n$ sâo grandes, a estatística $\ln (\bar{\theta})$ possui distribuiçâo aproximadamente normal com valor médio aproximado $\ln (\theta)$ e desvio padrāo aproximado $[(m-x) /(m x)+$ $(n-y) /(n y)]^{1 / 2}$.
a. Use esses fatos para obter uma fórmula de IC de $95 \%$ de amostra grande para estimar $\ln (\theta)$, e entioo um IC para o próprio $\theta$.
b. Retorne aos dados de ataque cardiaco do Exemplo 1.3 e calcule um intervalo de valores plausiveis para $\theta$ no nível de confiança de $95 \%$. O que esse intervalo sugere sobre a eficácia do tratamento com aspirina?

Dois tipos diferentes de liga, A e B, foram usados para fabricar espécimes experimentais de uma junta de baixa tensão a ser usada em uma determinada aplicação de engenharia. A tensio de ruptura (ksi) de cada espécime foi determinada, e os resultados são resumidos na distribuiçăo de frequência a seguir.
Calcule um IC de $95 \%$ para a diferença entre as proporçôes reais de todos os espécimes de ligas A e B que possuem uma tensão de ruptura de pelo menos $34 \mathrm{ksi}$.

Usando a fórmula tradicional, um IC de $95 \%$ para $p_1-p_2$ será construido com base em tamanhos das amostras iguais das duas populaçōes. Para que valor de $n(=m)$ o intervalo resultante terá largura de no máximo 0,1 , independentemente dos resultados da amostragem?

Obtenha ou calcule as seguintes quantidades:
a. $F_{\text {oms.s }}$
b. $F_{\text {e.es. }}, 9$
c. $F_{\text {ans. }}$
d. $F_{\text {ens }} \leq$
e. $099^{\circ}$ percentil da distribuiçâo $F \operatorname{com} \nu_1=10$, $\nu_2=12$
f. $O 1^{\circ}$ percentil da distribuiçāo $F \operatorname{com} \nu_1=10$, $\nu_2=12$
g. $P(F \leq 6,16)$ para $\nu_1=6, \nu_2=4$
h. $P(0,177 \leq F \leq 4,74)$ para $\nu_1=10, \nu_2=5$

Forneça o máximo de informações que puder sobre o valor $P$ do teste $F$ em cada uma das situaçōes a seguir:
a. $\nu_1=5, \nu_2=10$, teste de cauda superior, $f=4,75$
b. $\nu_1=5, \nu_2=10$, teste de cauda superior, $f=2,00$
c. $\nu_1=5, \nu_2=10$, teste bicaudal, $f=5,64$
d. $v_1=5, v_2=10$, teste de cauda inferior, $f=0,200$
e. $\nu_1=35, \nu_2=20$, teste de cauda superior, $f=3,24$

Retome aos dados sobre o ângulo de inclinação máximo dado no Exercício 28 deste capitulo. Faça um teste no nível de significância 0,10 para ver se os desvios padrǎo da população dos grupos de duas idades são diferentes (os gräficos de probabilidade normal confirmam a suposição de normalidade necessária).

Consulte o Exemplo 9.7. Os dados sugerem que o desvio padrăo da distribuiçăo da tensăo dos espécimes fundidos é menor que o dos espécimes nāo-fundidos? Faça um teste no nivel de significância 0,01 , obtendo o máximo de informaçōes que poder sobre o valor $P$.

Toxafeno é um inseticida que foi identificado como um poluente no ecossistema dos Grandes Lagos. Para investigar o efcito da exposição ao toxafeno nos animais, foi dado toxafeno a grupos de ratos em sua dieta. $\mathrm{O}$ artigo "Reproduction Study of Toxaphene in the Rat" ( $J$. of Environ. Sci. Health, 1988, p. 101-126) relata os ganhos de peso (em gramas) dos ratos que receberam uma dose baixa (4 ppm) e dos ratos de controle cuja dieta nâo incluiu o inseticida. O desvio padrāo da amostra de controle de 23 ratos fémeas foi de $32 \mathrm{~g}$, e de 20 ratos fêmeas com dose baixa, de $54 \mathrm{~g}$. Esses dados sugerem que há mais variabilidade nos ganhos de peso de dose baixa que nos ganhos de peso de controle? Assumindo normalidade, faça um teste de hipóteses no nível de significância de 0,05 .

Em um estudo da deficiência de cobre em gado, os valores de cobre ( $\mu \mathrm{g} \mathrm{Cu} / 100 \mathrm{~mL}$ de sangue) foram determinados para o pusto do gado em uma área conhecida por ter anomalias bem definidas de molibdênio (valores de metal em excesso do limite normal da variação regional) e para o pasto do gado $\mathrm{cm}$ uma área normal ('An Investigation into Copper Deficiency in Cattle in the Southern Pennines*, J. Agricultural Soc, Cambridge, 1972, p. 157-163), resultando em $s_1=21,5$ $(m=48)$ para a condição anômala e $s_2=19,45(n=45)$ para a condição normal. Faça o teste para a igualdade versus desigualdade de variâncias da população no nível de significincia de 0,10 , usando a abordagem do valor $P$.

Reconsidere os dados do Exemplo 9.6 e calcule um limite de confiança superior de $95 \%$ para a razão do desvio padrǏo da distribuiçâo de porosidade de triacetato ao da distribuição de porosidade do algodāo.

O indice de respostas a questionários é afetado pela inclusioo de algum tipo de incentivo para responder junto ao questionário? Em um experimento, 110 questionários sem nenhum incentivo resultaram em 75 devolvidos, enquanto 98 questionários que incluiam uma chance de ganhar na loteria produziram 66 respostas ("Charities, No; Lotteries, No; Cash, Yes", Public Opinion Quarterly, 1996, p. 542-562). Esses dados sugerem que a inclusão de um estímulo aumenta a probabilidade de uma resposta? Determine e teste as hipóteses relevantes no nível de significância 0,10 , usando o método do valor $P$.

Os dados a seguir foram obtidos em um estudo para avaliar o potencial de liquefação $\mathrm{cm}$ uma estação de energia nuclear proposta ("Cyclic Strengths Compared for Two Sampling Techniques", J. Geotechnical Division, Am. Soc. Cwil Engrs. Proceedings, 1981, p. 563-576). Antes do teste de resistência cíclico, foram obtidas amostras de solo, usando-se um método de tubo lançador e um método de bloco, resultando nos seguintes valores observados de densidade seca (lb/pés $\left.{ }^3\right)$ :

O artigo "Quantitative MRI and Electrophysiology of Preoperative Carpal Tunnel Syndrome in a Female Population" (Ergonomics, 1997, p. 642-649) relatou que ( $-473,3,1691,9$ ) era um intervalo de confiança de $95 \%$ para amostra grande, para a diferença entre o volume muscular médio real do tênar ( $\mathrm{mm}^2$ ) das pessoas que sofrem da síndrome do túnel carpal e o volume medio real das que nâo sofrem. Calcule um intervalo de confiança de $90 \%$ para essa diferença.

Foi realizado um experimento para comparar várias propriedades de fio torcido de algodao/poliéster acabado com softener somente, c fio acabado com softener mais $5 \%$ de resina DP ("Properties of a Fabric Made with Tandem Spun Yarns," Textile Res. J., 1996, p. 607-611). Uma característica particularmente importante do tecido é sua durabilidade, isto é, sua habilidade de resistir ao desgaste. Para uma amostra de 40 espécimes somente com soffener, a média amostral da resistência à abrasio de stoll-flex (ciclos) na direção do enchimento do fio era 3975,0 , com um desvio padrąo amostral de 245,1 . Outra amostra de 40 espécimes com softener e resina forneceu uma média amostral e um desvio padrũo amostral de 2795,0 e 293,7, respectivamente. Calcule um intervalo de confiança com nível de confiança de $99 \%$ para a diferença entre as médias reais das resistências à abrasîo dos dois tipos de tecidos. Seu intervalo fornece evidên-cia convincente de que as resistências médias reais sāo diferentes para os dois tipos de tecidos? Por qué?

Headability $\epsilon$ a habilidade de uma peça cilíndrica de material ser moldada na cabeça de um pino, parafuso ou outro item fabricado a frio sem rachar. $\mathrm{O}$ artigo "New Methods for Assessing Cold Heading Quality" (Wire J. Intl., out. 1996, p. 66-72) descreveu o resultado de um teste de impacto de headability aplicado a 30 espécimes de aço de alumínio neutralizado e a 30 espécimes de aço de silício neutralizado. A média amostral do número do grau de headability dos espócimes de aço foi $6,43, \mathrm{e}$ a média amostral dos espécimes de alumínio foi 7,09 . Suponha que os desvios padrão amostrais foram $1,08 \mathrm{e}$ 1,19, respectivamente. Você concorda com os autores do artigo de que a diferença nos graus de headabilify é sig. nificativa no nível de $5 \%$ (assumindo que as duas distribuiçōes de headability sejam normais)?

O artigo "Two Parameters Limiting the Sensitivity of Laboratory Tests of Condoms as Viral Barriers" (J. of Testing and Eval., 1996, p. 279-286) relatou que, nos preservativos de marca $A$, entre 16 rasgos produzidos pela perfuração de uma agulha, o comprimento do rasgo médio da amostra foi $74,0 \mu \mathrm{m}$, enquanto, para os 14 rasgos da marca B, o comprimento médio amostral foi $61,0 \mu \mathrm{m}$ (determinado pelo uso de microscópio de luz e micrógrafo de varredura eletrônica). Suponha que
os desvios padrão amostrais sejam 14,8 e 12,5 , respectivamente (consistentes com os intervalos amostrais dados no artigo). Os autores comentaram que o preservativo de marca B, mais espesso, apresentou um comprimento médio do rasgo menor que o preservativo de marca A, mais fino. Essa diferença é, de fato, estatisticamente significativa? Determine as hipóteses apropriadas e teste em $\alpha=0,05$.

As informaçōes sobre a postura e a força da mão geradas pelos dedos durante a manipulaçào diúria de vários objetos são necessárias para projetar dispositivos protéticos de alta tecnologia para mão. O artigo "Grip Posture and Forces During Holding Cylindrical Objects with Circular Grips" (Ergonomics, 1996, p. 1163-1176) relatou que, para uma amostra de 11 mulheres, a força média amostral à contraçăo de quatro dedos (N) foi 98,1 , c o desvio padrão amostral, 14,2. Para uma amostra de 15 homens, a média e o desvio padräo amostrais foram 129,2 e 39,1, respectivamente.
a. Um teste realizado para ver se as resistências médias reais dos dois sexos eram diferentes resultou em $t=$ 2,51 e valor $P=0,019$. O procedimento de teste apropriado descrito neste capitulo produz esse valor de $t$ e o valor $P$ determinado?
b. Existe evidência substancial de que a resistência média real dos homens excede a das mulheres por mais de $25 \mathrm{~N}$ ? Expresse e teste as hipóteses relevantes.

Os dados resumidos a seguir sobre a razāo da resistência à área transversal dos extensores de joelho saio tirados do artigo "Knce Extensor and Knee Flexor Strength: Cross-Sectional Area Ratios in Young and Elderly Men" (J. of Gerontology, 1992, p. M204-M210).
Esses dados sugerem que a razão média real dos jovens excede a dos idosos? Faça um teste de hipóteses apropriadas, usando $\alpha=0,05$. Certifique-se de determinar quaisquer hipóteses necessárias para sua análise.

O artigo "The Relationship Between Distress and Delight in Males' and Females' Reactions to Frightening Films" (Human Communication Research, 1991, p. 625-637) relata que os investigadores mediram as reaçōes emocionais de 50 homens e 60 mulheres, depois de assistirem a um trecho de um filme de terror. O artigo incluiu a seguinte declaraçio: "As mulheres eram muito mais propensas a se mostrarem aflitas do que os homens. Embora os homens tenham expressado níveis mais altos de prazer do que as mulheres, a diferença não foi estatisticamente significativa." Os dados resumidos a seguir também estavam contidos no artigo.

Em um experimento para comparar as resistências do suporte de pinos inseridos em dois tipos diferentes de suportes, uma amostra de 14 observaçöes sobre o limite de tensio dos suportes de carvalho vermelho resultou em uma média amostral e um desvio padrioo amostrais de $8,48 \mathrm{MPa}$ e $0,79 \mathrm{MPa}$, respectivamente, enquanto uma amostra de 12 observaçōes, quando os suportes de pinheiro de Douglas foram usados, forneceu uma média de 9,36 e um desvio padrão de 1,52 ("Bearing Strength of White Oak Pegs in Red Oak and Douglas Fir Timbers". J. of Testing and Evaluation, 1998, p. 109 114). Considere o teste para ver se os limites de tensão médios reais são idênticos ou não para os dois tipos de suportes. Compare os gls e os valores $P$ dos testes $t$ combinados e nāo-combinados.

Um experimento para determinar os efeitos da temperatura na sobrevivência de ovos de inseto foi descrito no artigo "Development Rates and a TemperatureDependent Model of Pales Weevil" (Emiron. Entomology, 1987, p. 956-962), A $11^{\circ} \mathrm{C}, 73$ de 91 ovos sobreviveram para o próximo estágio do desenvolvimento. A $30^{\circ} \mathrm{C}$, 102 de 110 ovos sobreviveram. Os resultados desse experimento sugerem que a taxa de sobrevivência (proporção que sobrevive) é diferente para as duas temperaturas? Calcule o valor $P$ e use-o para testar as hipóteses apropriadas.

A capacidade de ligação da insulina (pmol/mg proteina) foi medida para uma amostra de ratos diabéticos tratados com uma dose baixa de insulina, e para outra amostra de ratos diabéticos tratados com uma dose alta, produzindo os dados a seguir:
Dose baixa $m=8, \bar{x}=1,98, s_1=0,51$
Dose Alta $n=12, \bar{y}=1,30, s_2=0,35$
(J. Clinical Investigation, 1978, p. 552-560.)
a. Os dados indicam que há qualquer diferença na capacidade de ligação da insulina média real devida ao nível de dosagem? Use um teste $\operatorname{com} \alpha=0,001$.
b. $O$ que se pode dizer sobre o valor $P$ ?

No artigo que serve de referência no Exercício 85 . havia realmente quatro tratamentos experimentais: nãodiabético de controle, diabético não-tratado, diabético de dose baixa e diabético de dose alta. Represente o tamanho da amostra do $i$-ésimo tratamento por $n_i$ e a variância amostral por $S_i^2(i=1,2,3,4)$. Assumindo que a variância real de cada tratamento é $\sigma^2$, construa um estimador combinado de $\sigma^2$ que seja não-tendencioso e verifique o uso das regras do valor esperado que é, de fato, não-tendencioso. Qual é sua estimativa para os dados reais a seguir? (Sugestäo: modifique o estimador combinado na pág. 328.)

Suponha que um teste nivel 0,05 de $H_0: \mu_1-\mu_1=0$ versus $H_2: \mu_1-\mu_2>0$ será realizado, assumindo $\sigma_1=\sigma_2=10 \mathrm{e}$ normalidade de ambas as distribuiçöes, usando tamanhos das amostras iguais $(m=n)$. Avalie a probabilidade de erro tipo II quando $\mu_1-\mu_2=1$ e $n=$
$25,100,2500$, e 10.000 . Você consegue imaginar problemas reais $\mathrm{cm}$ que a diferença $\mu_1-\mu_2=1$ tenha pouca significância prática? Tamanhos das amostras de $n=10.000$ seriam desejáveis em tais problemas?

Os dados a seguir referem-se à contagem de bactérias transportadas pelo ar (número de colônias/pés') para $m=8$ quartos de hospital atapetados e para $n=8$ quartos sem tapete ("Microbial Air Sampling in a Carpeted Hospital", J. Envimonmental Health, 1968, p. 405). Parece haver diferença na contagem média real de bactérias entre os quartos atapetados e os não-atapetados?
Suponha que você soube depois que todos os quartos atapetados estavam $\mathrm{em}$ um hospital de veteranos de guerra, enquanto todos os quartos não-atapetados estavam em um hospital infantil. Você seria capaz de avaliar o efeito da existência ou não do tapete? Comente.

Pesquisadores enviaram 5000 currículos em resposta a anúncios de emprego que apareceram no Boston Globe e no Chicago Tribune. Os curriculos eram idênticos, exceto que 2500 deles tinham o primeiro nome "que soava ser de branco", como Brett e Emily, enquanto os outros 2500 tinham nomes "que soavam ser de negros", como Tamika e Rasheed. Dos curriculos do primeiro tipo houve 250 respostas, e dos curriculos do segundo tipo, somente 167 (esses números são muito consistentes com as informações que apareceram em um relatório de 15 de janeiro de 2003 feito pela Associated Press). Esses dados sugerem fortemente que um currículo com um nome "negro" seja menos provável de resultar em resposta que um currículo com um nome "branco"?

O teste de McNemar, desenvolvido no Exercício 54, também pode ser usado quando os individuos são pareados (unidos) para produzirem $n$ pares e entāo a um membro de cada par é dado o tratamento $1, \mathrm{e}$ a outro, o tratamento 2. Então, $X_1$ é o número de pares em que ambos os tratamentos foram bem-sucedidos e, de maneira semelhante, para $X_2, X_3$, e $X_4$.A estatística de teste para testar a eficácia idēntica dos dois tratamentos é dada por $\left(X_2-X_1\right) / \sqrt{\left(X_2+X_2\right)}$, que possui uma distribuição aproximadamente normal padronizada quando $H_0$ é verdadeira. Use isso para testar se a droga ergotamina é eficaz no tratamento de enxaquecas.

O artigo "Evaluating Variability in Filling Operations" (Food Tech., 1984, p. 51-55) descreve duas operaçöes diferentes de enchimento usadas em uma instalaçäo de empacotamento de carne moída. Ambas as operaçōes foram definidas para encher pacotes com $1400 \mathrm{~g}$ de carne moída. Em uma amostra aleatória de tamanho 30, tirada de cada operaçäo de enchimento, as médias e desvios padrão resultantes foram $1402,24 \mathrm{~g}$ e $10,97 \mathrm{~g}$ para a operação 1, e $1419,63 \mathrm{~g}$ e 9,96 g para a operação 2.
a. Usando um nível de significância de 0,05 , há evidência suficiente de que o peso médio real dos pacotes é diferente para as duas operaçōes?
b. Os dados du operação I sugerem que o peso médio real dos pacotes produzidos pela operaçäo 1 é superior a $1400 \mathrm{~g}$ ? Use um nível de significância de 0,05 .

Consultando o Exercício 92, desenvolva uma fórmula de intervalo de confiança de amostra grande para $\lambda_1$ $\lambda_2$. Calcule o intervalo para os dados + lá fornecidos usando nível de confiança de $95 \%$.